➤ 线性相关和线性无关

    矩阵方程（或向量集合）的线性相关性：对于一个矩阵方程 Ax=0 ，若至少有一个自由变量，即存在非平凡解，则该矩阵是线性相关的；反之，若只有平凡解，则该矩阵是线性无关的。线性相关可以理解为在一组向量中，某个向量可以由其它向量代替，故可被剔除，而线性无关的一组向量中，任何一个向量都不能缺失。

    向量集合的线性相关性判断：

    （1）一个向量的集合：零向量时是线性相关的；非零向量是线性无关的，因为该向量不为零时仅有平凡解，即 x•v = 0，因v≠0，故 x=0.

    （2）两个向量的集合：两个向量的集合 { v₁, v₂ } 线性相关，当且仅当其中一个向量是另一个向量的倍数，反之亦反。

    （3）两个以上向量的集合：给定向量集合 S = { v₁, v₂, v₃, ··· vp }

        ① 向量集合 S 线性相关，当且仅当 S 中，至少有一个向量是其它向量的线性组合，由此可推导出：如果 S 中的某个向量，不是其它向量的线性组合，不能说 S 就是线性无关的。若集合 S 中没有任何一个向量可由其它向量的线性组合表示，则 S 是线性无关的。

        ② 若向量集合 S 中每个向量有 n 个元素，则组成了一个 n x p 的矩阵，若 p > n，即矩阵的列数大于行数，则矩阵是线性相关的。该矩阵可以看成是一个由 p 个未知量和 n 个方程所组成的方程组的一个系数矩阵，此时必定有某一个或多个列没有主元位置，即方程组存在自由变量，有非平凡解，故此时矩阵是线性相关的。需要特别注意的是，若 p ≦ n 并不能直接说矩阵是线性无关的。

        ③ 向量集合 S 中，若存在零向量，则 S 是线性相关的，因为零向量等于集合中其它向量以 0 为权的线性组合。

    在几何上，对于两个及以下的向量集合，线性相关即这两个向量共线；对于三个及以上的向量集合，线性相关即这些向量共面。一组向量的所有线性组合的集合称为这些向量张成的空间，至少需要两个不共线的向量才能张成一个平面，至少需要三个不共面的向量才能张成一个三维空间。向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量集。